Angewandte Mathematik mit Mathcad. Reihen, Transformationen, by Josef Trölß

By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad“, richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

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A3 ˜ z  z0 3  ....  a1 z  z 0  a2 ˜ z  z 0 Die Koeffizienten a n erhält man aus dem Konturintegral: ´ an = ˜µ 2˜ S ˜ j µ µ ¶ 1 f ( z) z  z0 n 1 dz (2-21) Wobei die Kontur C als Doppelring mit r  z  z 0  R C um die Sigularität z 0 gegeben sein muss. Abb. 19 Wir bezeichnen z 0 als eine isolierte Singularität von f(z), wenn f(z) in z = z 0 nicht analytisch ist, aber in der Nachbarschaft von z 0 analytisch ist. Pole treten in der Laurent-Entwicklung auf, wenn f ª a ˜ z  z nº 0 ¼ ¬ n ¦ f ( z) = (2-22) f n und an = 0 für n < a -m< 0 und a-m z 0.

4, Band 2). Die reelle Darstellung einer Fourierreihe: Eine periodische Funktion f(t) = f(t + n T 0 ) mit der Periode T0 lässt sich unter folgenden Voraussetzungen (Dirichletsche Bedingungen) eindeutig als Fourierreihe darstellen: 1. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f(t) stetig und monoton ist. 2. In den Unstetigkeitsstellen (Sprungunstetigkeiten mit endlichen Sprüngen) existiert der linksals auch der rechtsseitige Grenzwert. Die Fourierreihe der Funktion f(t) hat dann die Form: f ( t) = a0 2 f  ¦ an ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t  bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t , mit Z 0 = 2 ˜ S ˜ f0 und f0 = T0 n 1 (3-1) 1 Unter diesen Voraussetzungen konvergiert die Fourierreihe von f(t) für alle x .

10 -4 (e ist auf 3 Stellen genau). 01  10 Bereichsvariable 10 x0 8 6 f( x) p ( x) 4 f x0 2 4 2 0 2 2 4 n x  x  x0 Abb. 10 Seite 33 6 3 8 10 Taylorreihen Grafische Darstellung des relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: f ( x)  p ( x) Frel ( x)  if x  0 f ( x) f ( x)  p ( x) f ( x) relativer Fehler in % ˜ 100 otherwise Relativer Fehler 100 Frel( x) 50 n 6 4 2 0 2 3 4 x0 1 6 8 10 x Abb. 11 Wie gezeigt wurde, ermöglicht Mathcad auch eine unterschiedliche Wahl von Entwicklungspunkten.

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