Angewandte Funktionalanalysis: Motivationen und Methoden für by Alfred Göpfert, Thomas Riedrich, Visit Amazon's Christiane

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In diesem Lehrbuch werden die f?r die Wirtschaftsmathematik, insbesondere f?r die Optimierungstheorie, Stochastik und Numerik, erforderlichen Grundlagen der Funktionalanalysis in einer anschaulichen shape mit Bez?gen zu den entsprechenden Anwendungen in jedem Kapitel dargestellt. Dabei wird eine Untergliederung entsprechend der f?r die Wirtschaftsmathematik relevanten Haupts?tze der Funktionalanalysis, wie Baire's Kategoriesatz, Approximations- und Projektionssatz, Hahn-Banach-Theorem, Fixpunktaussagen und KKM-Theorem und Variationsprinzipien, vorgenommen.

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N ) ∈ Cn ). , n) (vgl. 5) und ist (natürlich) stetig. Das heißt, im vorliegenden Fall gilt die Beziehung X∗ = X . Weiter ist (vgl. 29) j=1 erfüllt. , an ) ∈ Cn zu, so erhält man eine eineindeutige lineare Abbildung A von X∗ auf Cn (Beweis der Linearität und der Surjektivität der Abbildung A als Übung). Diese Abbildung vermittelt also einen Isomorphismus zwischen X∗ und Cn . 29) die Normen der einander zugeordneten Elemente gleich. Solch einen Isomorphismus nennt man einen Normisomorphismus. Normisomorphe Räume werden oft identifiziert.

Sonst folgte x∗ (x j ) = 0 > j · 0 = 0, ein Widerspruch. Daher sind die Elemente y j := 1j x1j x j wohldefiniert und haben die Eigenschaft { y j } → 0 für j → +∞. Da x∗ stetig ist, gilt auch {x∗ (y j )} → 0. 9) folgt für jedes x = 0 die Ungleichung reichen Schluss ziehen: |x∗ (x)| x xj 1 1 j x j = 1. 10) ≤ k. Aus ihr können wir einen folgen- 32 3 Funktionale und Operatoren Die kleinstmögliche untere Schranke von x∗ (bezeichnet mit x∗ ∗ ) ist offenbar x∗ x∗ ∗ ∗ |x∗ (x)| . 11) := sup heißt die Norm von x∗ .

26) (x , y ∈ X , λ ∈ C bzw. R) zu einem Vektorraum wird. Diesen nennt man den algebraisch dualen bzw. algebraisch konjugierten Raum von X. Dualität ist eine grundlegende Begriffsbildung der Theorie und der Anwendungen in Analysis und Operations Research (vor allem in der Optimierung, man denke an duale Optimierungsprobleme, primal-duale Verfahren oder an Schattenpreise). 3 Es sei (X, · ) ein normierter Raum. Denjenigen linearen Teilraum X∗ von X , der aus allen stetigen linearen Funktionalen x∗ auf X besteht, versehen mit der Norm (vgl.

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