Algèbre 1 [Lecture notes] by Laurent Berger

By Laurent Berger

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1. — Si A est un anneau principal, et si M est un A-module de type fini, alors il existe n ≥ 0 et des ´el´ements non nuls d1 , . . , dm de A\A× tels que d1 | · · · | dm et M An ⊕ (⊕m i=1 A/di A). D´emonstration. — Si M est de type fini, alors il existe un morphisme surjectif f : Ar → M et on note N = ker(f ). 2 appliqu´e a` N ⊂ Ar , ´etant donn´e que si di ∈ A× , alors di A = A et si di = 0, alors A/di A = A. 3. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 41 Si M est un A-module et si m ∈ M , alors on dit que m est de torsion s’il existe a ∈ A \ {0} tel que am = 0.

1. — Si A est un anneau noeth´erien, alors A[X] est noeth´erien. D´emonstration. — Soit I un id´eal de A[X] et Ik l’ensemble des ak ∈ A tels qu’il existe P (X) ∈ I de degr´e k dont le coefficient dominant est ak . L’ensemble Ik est un id´eal de A et de plus I0 ⊂ I1 ⊂ · · · . Comme A est noeth´erien, il existe n tel que In = In+1 = · · · . Chacun des id´eaux Ij est de type fini, disons que Ij est engendr´e par des ai,j ∈ A avec 1 ≤ i ≤ nj . Soit Pi,j ∈ I un polynˆome dont le coefficient dominant est ai,j .

3. — L’application π induit une suite exacte de K[X]-modules : π − V → 0. 0 → N → ⊕di=1 K[X]vi → D´emonstration. — Il faut v´erifier que π est surjective et que ker(π) = N . Le fait que π est surjective est ´evident puisque π(vi ) = vi et que les vi engendrent V . Montrons donc que ker(π) = N . Le fait que M est la matrice de f dans la base des vi revient a` dire que f (vi ) = dj=1 mj,i vj et donc que π(ni ) = 0 pour tout i ce qui fait que N ⊂ ker(π). Enfin, si d i=1 Pi (X) · vi ∈ ker(π), alors il existe n ∈ N tel que avec ai ∈ K et si π( tout i ce qui fait que d i=1 Pi (X) · vi ) d i=1 Pi (X) · vi = 0, alors π( d i=1 d i=1 Pi (X) · vi − n = d i=1 ai · vi ai · vi ) = 0 et donc ai = 0 pour ∈ N et donc ker(π) = N .

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