Algebra, Chapter 0, Version 2009.01.18 by Aluffi P.

By Aluffi P.

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Représentations linéaires des groupes finis

Creation du livre par l’auteur :

    Ce livre est shapeé de trois events, de niveaux et de buts assez différents :

    La première partie a été écrite à l’usage des chimistes théoriciens. Elle disclose l. a. correspondance, due à Frobenius, entre représentations linéaires et caractères. Il s’agit de résultats fondamentaux, d’usage consistent aussi bien en mathématique qu’en chimie quantique, ou en body. J’ai essayé d’en donner des démonstrations aussi élémentaires que attainable, n’utilisant que los angeles définition même d’un groupe et les rudiments de l’algèbre linéaire. Les exemples (§ 5) ont été choisis parmi ceux qui sont utiles aux chimistes.

    La deuxième partie est un cours donné en 1966 aux élèves de seconde année de l’École Normale. Elle complète l. a. première sur les issues suivants :
a) Degrés des représentations et propriétés d’intégralité des caractères (§ 6).
b) Représentations induites, théorèmes d’Artin et de Brauer, et applications (§§ 7 à 11).
c) Questions de rationalité (§§ 12 et 13).
    Les moyens utilisés sont ceux de l’algèbre linéaire (en un sens plus huge que pour l. a. première partie) : algèbres de groupes, modules, produits tensoriels non commutatifs, algèbres semi-simples.

    La troisième partie est une advent à l. a. théorie de Brauer : passage de l. a. caractéristique zero à los angeles caractéristique p (et inversement). J’ai utilisé librement le langage des catégories abéliennes (modules projectifs, groupes de Grothendieck), bien adapté à ce style de question.
    Les principaux résultats sont :
a) Le fait que l’homomorphisme de décomposition est surjectif : toute représentation irréductible de caractéristique p peut être relevée « virtuellement » (i. e. dans un groupe de Grothendieck convenable) en caractéristique 0.
b) Le théorème de Fong-Swan permettant de supprimer le mot « virtuellement » de l’énoncé précédent, pourvu que le groupe considéré soit
p-résoluble.
    J’ai également donné quelques purposes aux représentations d’Artin.

===== desk des matières =====

Introduction

I. Représentations et caractères

    § 1. Généralités sur les représentations linéaires
        1. 1. Définitions
        1. 2. Premiers exemples
        1. three. Sous-représentations
        1. four. Représentations irréductibles
        1. five. Produit tensoriel de deux représentations

    § 2. Théorie des caractères
        2. 1. Le caractère d’une représentation
        2. 2. Le lemme de Schur; premières applications
        2. three. Les kinfolk d’orthogonalité des caractères
        2. four. Décomposition de l. a. représentation régulière
        2. five. Nombre des représentations irréductibles
        2. 6. los angeles décomposition canonique d’une représentation
        2. 7. Décomposition explicite d’une représentation

    § 3. Sous-groupes, produits, représentations induites
        3. 1. Sous-groupes commutatifs
        3. 2. Produit de deux groupes
        3. three. Représentations induites

    § 4. Extension aux groupes compacts
        4. 1. Groupes compacts
        4. 2. Mesure invariante sur un groupe compact
        4. three. Représentations linéaires des groupes compacts

    § 5. Exemples
        5. 1. Le groupe cyclique C_n
        5. 2. Le groupe C_∞
        5. three. Le groupe diédral D_n
        5. four. Le groupe D_nh
        5. five. Le groupe D_∞
        5. 6. Le groupe D_∞h
        5. 7. Le groupe alterné A₄
        5. eight. Le groupe symétrique S₄
        5. nine. Le groupe du cube

    Bibliographie (Partie I)

II. Représentations en caractéristique zéro

    § 6. L’algèbre du groupe
        6. 1. Représentations et modules
        6. 2. Décomposition de C[G]
        6. three. Le centre de C[G]
        6. four. Rappels sur les entiers
        6. five. Propriétés d’intégralité des caractères. Applications

    § 7. Représentations induites; critère de Mackey
        7. 1. Rappels
        7. 2. Caractère d’une représentation induite; formule de réciprocité
        7. three. limit aux sous-groupes
        7. four. Critère d’irréductibilité de Mackey

    § 8. Exemples de représentations induites
        8. 1. Sous-groupes distingués; functions aux degrés des représentations irréductibles
        8. 2. Produits semi-directs par un groupe commutatif
        8. three. Rappels sur certaines periods de groupes finis
        8. four. Théorème de Sylow
        8. five. Représentations linéaires des groupes hyper-résolubles

    § 9. Théorème d’Artin
        9. 1. L’anneau R(G)
        9. 2. Énoncé du théorème d’Artin
        9. three. Première démonstration
        9. four. Deuxième démonstration de i) ⇒ ii)

    § 10. Théorème de Brauer
        10. 1. Éléments p-adiques; sous-groupes p-élémentaires
        10. 2. Caractères induits provenant des sous-groupes p-élémentaires
        10. three. building de caractères
        10. four. Démonstration des théorèmes 18 et 18'
        10. five. Théorème de Brauer

    § 11. purposes du théorème de Brauer
        11. 1. Caractérisations des caractères
        11. 2. Un théorème de Frobenius
        11. three. Réciproque du théorème de Brauer
        11. four. Spectre de A ⨂ R(G)

    § 12. Questions de rationalité
        12. 1. Les anneaux de R_K(G) et \\bar{R}_K(G)
        12. 2. Indices de Schur
        12. three. Réalisabilité sur les corps cyclotomiques
        12. four. Rang du groupe R_K(G)
        12. five. Généralisation du théorème d’Artin
        12. 6. Généralisation du théorème de Brauer
        12. 7. Démonstration du théorème 28

    § 13. Questions de rationalité : exemples
        13. 1. Le cas du corps des nombres rationnels
        13. 2. Le cas du corps des nombres réels

    Bibliographie (Partie II)

III. creation à l. a. théorie de Brauer

    § 14. Les groupes R_K(G), R_k(G) et P_k(G)
        14. 1. Les anneaux R_K(G) et R_k(G)
        14. 2. Les groupes P_k(G) et P_A(G)
        14. three. constitution de P_k(G)
        14. four. constitution de P_A(G)
        14. five. Dualités
        14. 6. Extension des scalaires

    § 15. Le triangle cde
        15. 1. Définition de c : P_k(G) → R_k(G)
        15. 2. Définition de d : R_K(G) → R_k(G)
        15. three. Définition de e : P_k(G) → R_K(G)
        15. four. Premières propriétés du triangle cde
        15. five. Exemple : le cas des p'-groupes
        15. 6. Exemple : le cas des p-groupes
        15. 7. Exemple : produits de p'-groupes et de p-groupes

    § 16. Théorèmes
        16. 1. Propriétés du triangle cde
        16. 2. Caractérisation de l’image de e
        16. three. Caractérisation des A[G]-modules projectifs par leur caractère
        16. four. Exemples de A[G]-modules projectifs : représentations irréductibles de défaut nul

    § 17. Démonstrations
        17. 1. Changement de groupe
        17. 2. Le théorème de Brauer dans le cas modulaire
        17. three. Démonstration du théorème 33
        17. four. Démonstration du théorème 35
        17. five. Démonstration du théorème 37
        17. 6. Démonstration du théorème 38

    § 18. Caractères modulaires
        18. 1. Le caractère modulaire d’une représentation
        18. 2. Indépendance des caractères modulaires
        18. three. Traductions
        18. four. Une part de d
        18. five. Exemple : caractères modulaires du groupe symétrique S₄
        18. 6. Exemple : caractères modulaires du groupe alterné A₄

    § 19. software aux représentations d’Artin
        19. 1. Représentations d’Artin et de Swan
        19. 2. Rationalité des représentations d’Artin et de Swan
        19. three. Un invariant

    Annexe

    Bibliographie (Partie III)

Index des notations
Index terminologique

Extra resources for Algebra, Chapter 0, Version 2009.01.18

Example text

Then (by definition of category) there is an associative operation on G, with an identity 1∗ , and (by definition of groupoid, which says that every morphism in G is an isomorphism) every g ∈ G has an inverse g −1 ∈ G. 41 42 II. Groups, first encounter That is what a group is1: a set G with a composition law satifsying a few key axioms: associativity, existence of identity, and existence of inverses. 2. Definition. Now for the official definition. Let G be a nonempty set, endowed with a binary operation: that is, a ‘multiplication’ map •:G×G→G .

This will be apparent from the examples that follow. 3. Quotients. Let ∼ be an equivalence relation defined on a set A. ” What can this possibly mean, and is it true? The writer is talking about functions A ϕ GZ with Z any set, satisfying the property a ∼a =⇒ ϕ(a ) = ϕ(a ) . 7); for convenience, let’s denote such an object by (ϕ, Z). The only reasonable way to define morphisms (ϕ1 , Z1 ) → (ϕ2 , Z2 ) is as commutative diagrams σ G Z2 Z1S h SS ÙÙ S Ù ϕ1 S S ÙÙÙ ϕ2 A 34 I. 7. Does this category have initial objects?

2. An automorphism of an object A of a category C is an isomorphism from A to itself. The set of automorphisms of A is denoted AutC (A); it is a subset of EndC (A). 3, composition confers on AutC (A) a remarkable structure: • The composition of two elements f, g ∈ AutC (A) is an element gf ∈ AutC (A); • composition is associative; • AutC (A) contains the element 1A , which is an identity for composition (that is, f 1A = 1A f = f ); • Every element f ∈ AutC (A) has an inverse f −1 ∈ AutC (A). In other words, AutC (A) is a group, for all objects A of all categories C.

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