A Course in Algebra (Graduate Studies in Mathematics, Volume by E. B. Vinberg

By E. B. Vinberg

It is a complete textbook on sleek algebra written via an across the world well known expert. It covers fabric typically present in complex undergraduate and easy graduate classes and offers it in a lucid type. the writer contains nearly no technically tough proofs, and reflecting his perspective on arithmetic, he attempts anywhere attainable to exchange calculations and tough deductions with conceptual proofs and to affiliate geometric pictures to algebraic gadgets. the trouble spent at the a part of scholars in soaking up those principles pays off once they flip to fixing difficulties outdoor of this textbook.
Another very important characteristic is the presentation of so much subject matters on numerous degrees, permitting scholars to maneuver easily from preliminary acquaintance with the topic to thorough examine and a deeper knowing. uncomplicated issues are integrated, akin to algebraic constructions, linear algebra, polynomials, and teams, in addition to extra complicated subject matters, equivalent to affine and projective areas, tensor algebra, Galois idea, Lie teams, and associative algebras and their representations. a few functions of linear algebra and team conception to physics are mentioned.
The e-book is written with severe care and comprises over 2 hundred routines and 70 figures. it truly is perfect as a textbook and likewise compatible for self reliant research for complex undergraduates and graduate scholars.

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Représentations linéaires des groupes finis

Creation du livre par l’auteur :

    Ce livre est shapeé de trois events, de niveaux et de buts assez différents :

    La première partie a été écrite à l’usage des chimistes théoriciens. Elle disclose los angeles correspondance, due à Frobenius, entre représentations linéaires et caractères. Il s’agit de résultats fondamentaux, d’usage consistent aussi bien en mathématique qu’en chimie quantique, ou en body. J’ai essayé d’en donner des démonstrations aussi élémentaires que attainable, n’utilisant que los angeles définition même d’un groupe et les rudiments de l’algèbre linéaire. Les exemples (§ 5) ont été choisis parmi ceux qui sont utiles aux chimistes.

    La deuxième partie est un cours donné en 1966 aux élèves de seconde année de l’École Normale. Elle complète l. a. première sur les issues suivants :
a) Degrés des représentations et propriétés d’intégralité des caractères (§ 6).
b) Représentations induites, théorèmes d’Artin et de Brauer, et applications (§§ 7 à 11).
c) Questions de rationalité (§§ 12 et 13).
    Les moyens utilisés sont ceux de l’algèbre linéaire (en un sens plus huge que pour los angeles première partie) : algèbres de groupes, modules, produits tensoriels non commutatifs, algèbres semi-simples.

    La troisième partie est une creation à l. a. théorie de Brauer : passage de l. a. caractéristique zero à los angeles caractéristique p (et inversement). J’ai utilisé librement le langage des catégories abéliennes (modules projectifs, groupes de Grothendieck), bien adapté à ce style de question.
    Les principaux résultats sont :
a) Le fait que l’homomorphisme de décomposition est surjectif : toute représentation irréductible de caractéristique p peut être relevée « virtuellement » (i. e. dans un groupe de Grothendieck convenable) en caractéristique 0.
b) Le théorème de Fong-Swan permettant de supprimer le mot « virtuellement » de l’énoncé précédent, pourvu que le groupe considéré soit
p-résoluble.
    J’ai également donné quelques purposes aux représentations d’Artin.

===== desk des matières =====

Introduction

I. Représentations et caractères

    § 1. Généralités sur les représentations linéaires
        1. 1. Définitions
        1. 2. Premiers exemples
        1. three. Sous-représentations
        1. four. Représentations irréductibles
        1. five. Produit tensoriel de deux représentations

    § 2. Théorie des caractères
        2. 1. Le caractère d’une représentation
        2. 2. Le lemme de Schur; premières applications
        2. three. Les kin d’orthogonalité des caractères
        2. four. Décomposition de los angeles représentation régulière
        2. five. Nombre des représentations irréductibles
        2. 6. l. a. décomposition canonique d’une représentation
        2. 7. Décomposition explicite d’une représentation

    § 3. Sous-groupes, produits, représentations induites
        3. 1. Sous-groupes commutatifs
        3. 2. Produit de deux groupes
        3. three. Représentations induites

    § 4. Extension aux groupes compacts
        4. 1. Groupes compacts
        4. 2. Mesure invariante sur un groupe compact
        4. three. Représentations linéaires des groupes compacts

    § 5. Exemples
        5. 1. Le groupe cyclique C_n
        5. 2. Le groupe C_∞
        5. three. Le groupe diédral D_n
        5. four. Le groupe D_nh
        5. five. Le groupe D_∞
        5. 6. Le groupe D_∞h
        5. 7. Le groupe alterné A₄
        5. eight. Le groupe symétrique S₄
        5. nine. Le groupe du cube

    Bibliographie (Partie I)

II. Représentations en caractéristique zéro

    § 6. L’algèbre du groupe
        6. 1. Représentations et modules
        6. 2. Décomposition de C[G]
        6. three. Le centre de C[G]
        6. four. Rappels sur les entiers
        6. five. Propriétés d’intégralité des caractères. Applications

    § 7. Représentations induites; critère de Mackey
        7. 1. Rappels
        7. 2. Caractère d’une représentation induite; formule de réciprocité
        7. three. limit aux sous-groupes
        7. four. Critère d’irréductibilité de Mackey

    § 8. Exemples de représentations induites
        8. 1. Sous-groupes distingués; functions aux degrés des représentations irréductibles
        8. 2. Produits semi-directs par un groupe commutatif
        8. three. Rappels sur certaines sessions de groupes finis
        8. four. Théorème de Sylow
        8. five. Représentations linéaires des groupes hyper-résolubles

    § 9. Théorème d’Artin
        9. 1. L’anneau R(G)
        9. 2. Énoncé du théorème d’Artin
        9. three. Première démonstration
        9. four. Deuxième démonstration de i) ⇒ ii)

    § 10. Théorème de Brauer
        10. 1. Éléments p-adiques; sous-groupes p-élémentaires
        10. 2. Caractères induits provenant des sous-groupes p-élémentaires
        10. three. development de caractères
        10. four. Démonstration des théorèmes 18 et 18'
        10. five. Théorème de Brauer

    § 11. functions du théorème de Brauer
        11. 1. Caractérisations des caractères
        11. 2. Un théorème de Frobenius
        11. three. Réciproque du théorème de Brauer
        11. four. Spectre de A ⨂ R(G)

    § 12. Questions de rationalité
        12. 1. Les anneaux de R_K(G) et \\bar{R}_K(G)
        12. 2. Indices de Schur
        12. three. Réalisabilité sur les corps cyclotomiques
        12. four. Rang du groupe R_K(G)
        12. five. Généralisation du théorème d’Artin
        12. 6. Généralisation du théorème de Brauer
        12. 7. Démonstration du théorème 28

    § 13. Questions de rationalité : exemples
        13. 1. Le cas du corps des nombres rationnels
        13. 2. Le cas du corps des nombres réels

    Bibliographie (Partie II)

III. creation à los angeles théorie de Brauer

    § 14. Les groupes R_K(G), R_k(G) et P_k(G)
        14. 1. Les anneaux R_K(G) et R_k(G)
        14. 2. Les groupes P_k(G) et P_A(G)
        14. three. constitution de P_k(G)
        14. four. constitution de P_A(G)
        14. five. Dualités
        14. 6. Extension des scalaires

    § 15. Le triangle cde
        15. 1. Définition de c : P_k(G) → R_k(G)
        15. 2. Définition de d : R_K(G) → R_k(G)
        15. three. Définition de e : P_k(G) → R_K(G)
        15. four. Premières propriétés du triangle cde
        15. five. Exemple : le cas des p'-groupes
        15. 6. Exemple : le cas des p-groupes
        15. 7. Exemple : produits de p'-groupes et de p-groupes

    § 16. Théorèmes
        16. 1. Propriétés du triangle cde
        16. 2. Caractérisation de l’image de e
        16. three. Caractérisation des A[G]-modules projectifs par leur caractère
        16. four. Exemples de A[G]-modules projectifs : représentations irréductibles de défaut nul

    § 17. Démonstrations
        17. 1. Changement de groupe
        17. 2. Le théorème de Brauer dans le cas modulaire
        17. three. Démonstration du théorème 33
        17. four. Démonstration du théorème 35
        17. five. Démonstration du théorème 37
        17. 6. Démonstration du théorème 38

    § 18. Caractères modulaires
        18. 1. Le caractère modulaire d’une représentation
        18. 2. Indépendance des caractères modulaires
        18. three. Traductions
        18. four. Une part de d
        18. five. Exemple : caractères modulaires du groupe symétrique S₄
        18. 6. Exemple : caractères modulaires du groupe alterné A₄

    § 19. software aux représentations d’Artin
        19. 1. Représentations d’Artin et de Swan
        19. 2. Rationalité des représentations d’Artin et de Swan
        19. three. Un invariant

    Annexe

    Bibliographie (Partie III)

Index des notations
Index terminologique

Extra info for A Course in Algebra (Graduate Studies in Mathematics, Volume 56)

Example text

We need to show that every vector in (S) can be expressed as a linear combination of el, e2, ... , ek. By definition, every vector in (S) can be expressed as a linear combination of vectors from S. Hence, it suffices to show that every vector a E S can be expressed as a linear combination of el,... , ek. For a E {el,... , ek}, this is obvious. For a ¢ {el,... 22. 38. Any linearly independent system of vectors in a vector space V can be completed to a basis. In particular, any nonzero vector is contained in some basis and any n linearly independent vectors in an n-dimensional vector space already form a basis.

This isomorphism maps basis vectors to unit rows. In this sense we can say that the space of rows is nothing but a finite-dimensional space with a fixed basis. The set of all bases of an n-dimensional vector space V can be described in the following way. Fix a basis {e,.. , en}. Any system {e'1, ... 6) eJ = eicij, j = 1, ... , n. i This matrix is called the transition matrix from the basis {el, ... , en} to the system {el, ... , en}. According to its definition, the jth column of C is the column of coordinates of ej' in the basis {el, ...

27. Every finite-dimensional subset V has a basis. More precisely, every finite subset S of V that spans V contains a basis of V. Proof. 20. If we remove this vector from S, we obtain a set that still spans V but contains a smaller number of vectors. , a basis of V. 28. All bases of a finite-dimensional space V contain the same number of vectors. This number is called the dimension of V and is denoted dim V. 2. Elements of Linear Algebra 48 Proof. Assume V contains two bases with different numbers of vectors.

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